题目内容

在数列{a_n}和{b_n}中，a₁=2，3a_n+1-a_n=0（n∈N^*），b_n是a_n与a_n+1的等差中项，则b₃=______．

由题意，数列{a_n} 是以2为首项，

1

3

为公比的等比数列
∵an=2×(

1

3

)n-1
∵b_n是a_n与a_n+1的等差中项
∴2bn=an+an+1=

8

3

×(

1

3

)n-1
∴b3=

4

27

故答案为

4

27

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（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：当a=2，b=

时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由．

在数列{a_n}和{b_n}中，an=an，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
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时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
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