Question

如图，已知等腰的底边，顶角为，是边上一点，且. 把沿折起，使得平面平面，连接BC形成三棱锥．

(Ⅰ) ① 求证：AC⊥平面ABD；

② 求三棱锥C-ABD的体积；

(Ⅱ) 求AC与平面BCD所成的角的正弦值.

（第20题）

             

Answer 1

 (Ⅰ) ①由已知得，，．

在△ABD中，由BD=1，得AD==1,      3分

在△ACD中，∵AC² + AD²=4 = CD², ∴AC⊥AD.

平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD.                  5分

②∵AC⊥平面ABD，

∴V_C-ABD==.             8分

(Ⅱ) 由，得CD = 2，

在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，则AE=.

在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H，

（第20题）

∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，

∵AHÌ平面ACE，∴ BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，

∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角.                 11分

在中，得，=，

∴，

即直线AC与平面BCE所成的角的正弦值为．                14分