Question

（2013•丰台区一模）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；
（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN；
（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求

ME

MN

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过证明平面与平面平行的判定定理证明平面AMD∥平面BCN，然后证明AM∥平面BCN；
（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面MNC的法向量以及直线AN向量，然后求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）设E（x，y，z），

ME

MN

=λ，推出E点的坐标为（2λ，2λ，2-λ），通过

AE

•

MC

=0，求出λ=

2

3

，即可求

ME

MN

的值．

解答：（本题14分）解：（Ⅰ）证明：∵ABCD是正方形，
∴BC∥AD．∵BC?平面AMD，AD?平面AMD，
∴BC∥平面AMD．
∵NB∥MD，∵NB?平面AMD，MD?平面AMD，
∴NB∥平面AMD．
∵NB∩BC=B，NB?平面BCN，BC?平面BCN，
∴平面AMD∥平面BCN…（3分）
∵AM?平面AMD，
∴AM∥平面BCN…（4分）
（也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分）
（Ⅱ）∵MD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）…（5分）
则A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），N（2，2，1）．∴

AN

=(0，2，1)，…（6分）

MN

=(2，2，-1)，

MC

=(0，2，-2)，
设平面MNC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

2x+2y-z=0 2y-2z=0

，令z=2，则

n

=(-1，2，2)，…（7分）
设AN与平面MNC所成角为θ，∴sinθ=|cos?

AN

，

n

＞|=|

2×2+1×2

5 ×3

|=

2 5

5

．…（9分）
（Ⅲ）设E（x，y，z），

ME

MN

=λ，∴

ME

=λ

MN

，
又∵

ME

=(x，y，z-2)，

MN

=(2，2，-1)，
∴E点的坐标为（2λ，2λ，2-λ），…（11分）
∵AD⊥面MDC，∴AD⊥MC，欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，
∵

AE

=(2λ-2，2λ，2-λ)，

MC

=(0，2，-2)，
∵

AE

•

MC

=0∴4λ-2（2-λ）=0，
∴λ=

2

3

，
所以

ME

MN

=

2

3

．…（14分）

点评：本题考查平面与平面平行的性质定理，直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，向量法解决几何问题的方法．考查空间想象能力与计算能力．