Question

已知棱柱,底面是边长为的菱形，，对角线、交于点，.

（Ⅰ）证明：不论侧棱的长度为何值，总有;

（Ⅱ）当二面角为时，求侧棱的长度.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）法一：因为为菱形，所以，

又，，

所以，，

，

 ,

所以，

故不论侧棱的长度为何值，总有.

法二：由已知可证,

分别以为轴建立空间直角坐标系

.

由已知得，,

设，则.

显然，的一个法向量为

设的法向量为，

，，

，  即，取,

    ，

故不论侧棱的长度为何值，总有.

（Ⅱ）设的法向量为，

，

                  

取，则 , 

,

又二面角为，所以,

，  ,   此时，

故 .