Question

已知函数法（x）=x²+2ax+2．
①若方程f（x）=0有两不相等的正根，求a的取值范围；
②若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），求函数在x∈[-5，5]的最大值和最小值；
③求f（x）在x∈[-5，5]的最小值．

Answer 1

分析：（1）方程f（x）=0有两不相等的正根等价于

△=4a2-8＞0 x1+x2=-2a＞0 x1•x2=2＞0

，解此不等式组即可．
（2）由f（x+1）=f（1-x）可以求出a=-1，再结合二次函数的图象与性质求解．
（3）对称轴x=-a，分-a＜-5，-5≤-a≤5，-a＞5三类，结合二次函数的图象与性质求解．

解答：解：（1）设方程x²+2ax+2=0的两根为x₁，x₂，
则

△=4a2-8＞0 x1+x2=-2a＞0 x1•x2=2＞0

，解得a＜ -

2

 
（2）由题意得（x+1）²+2a（x+1）+2=（1-x）²+2a（1-x）+2
即4（1+a）x=0对任意x∈R恒成立，
∴a=-1．∴f（x）=x²-2x+2，x∈[-5，5]，
∵f（x）在[-5，1]上单调递减，在[1，5]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（-5）=37，f（x）的最小值为f（1）=1．
（3）对称轴x=-a，
当-a＜-5，即a＞5时，f（x）在[-5，5]上单调递增，f（x）的最小值为f（-5）=27-10a，
当-5≤-a≤5，即-5≤a≤5时，f（x）在[-5，-a]上单调递减，在[-a，5]上单调递增，
f（x）的最小值为f（-a）=2-a²．
当-a＞5，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上单调递减，f（x）的最小值为f（5）=27+10a．
综上：f（x）_min=

27+10a，a＜-5 2-a2     -5≤a≤5 27-10a    a＞5

点评：本题考查二次方程根的分布，二次函数的图象与性质．考查数形结合、分类讨论、计算能力．