Question

已知函数f（x）=a|x-l|+|x-3|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤13；
（2）若函数f（x）既存在最大值，也存在最小值，求a的值．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，通过对x的取值情况分类讨论，解不等式f（x）=2|x-l|+|x-3|≤13即可．
（2）通过对x的取值情况分类讨论，将f（x）=2|x-l|+|x-3|转化为分段函数式，结合题意即可求得a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=2|x-l|+|x-3|≤13，
∴当x≤1时，f（x）=2-2x+3-x≤13，
∴-

8

3

≤x≤1；
当1＜x＜3时，f（x）=2x-2+3-x≤13，
解得1＜x＜3；
当x≥3时，f（x）=2x-2+x-3≤13，
解得3≤x≤6．
综上所述，不等式f（x）≤13的解集为：{x|-

8

3

≤x≤6}．
（2）∵f（x）=a|x-l|+|x-3|=

(-1-a)x+a+3，x≤1 (a-1)x+3-a，1＜x＜3 (a+1)x-3-a，x≥3

既存在最大值，也存在最小值，
∴当x≤1时，f（x）=（-1-a）x+a+3中x的系数必为0，当x≥3时，f（x）=（1+a）x-a-3中x的系数必为0．
即

-1-a=0 a+1=0

，
解得a=-1．此时，f（x）_max=a+3=（-1）+3=2，f（x）_min=-3-（-1）=-2．
∴a=-1．

点评：本题考查带绝对值的函数，考查绝对值不等式的解法，突出分类讨论思想与化归思想的综合运用，属于难题．