Question

定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有f()≤[f(x₁)＋f(x₂)]，则称函数f(x)是R上的下凸函数．

已知二次函数f(x)＝ax²＋x(a∈R，a≠0)．

(1)求证：当a＞0时，函数f(x)是下凸函数．

(2)如果x∈[0，1]时，|f(x)|≤1都成立，试求实数a的范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)对任意x＞0，∴[f(x)＋f(x)]－2f([()]＝x≥0． 　　∴f(≤[f]．∴函数f(x)是凹函数；(5分) 　　(2)由|f(x)|≤1－1≤f(x)≤1－1≤＋x≤1．(*) 　　当x＝0时，∈R；当x∈(0，1]时，(*)即 　　即∵x∈(0，1]，∴≥1．∴当＝1时，－(＋)－取得最大值是－2；当＝1时，(－)－取得最小值是0． 　　∴－2≤≤0，结合≠0，得－2≤＜0．综上，的范围是[－2，0)．(12分)