Question

（2012•德州一模）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2x+1，若对任意x₁∈（0，+∞），总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)，进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max，由已知得g（x）_max=g（0）=1，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）∵f（x）=ax+lnx（a∈R），
∴f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)，
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f′（x）=0，得x=-

1

a

．
在区间上（0，-

1

a

），f′（x）＞0，在区间（-

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，
所以，f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），单调减区间为（-

1

a

，+∞）．
故当a≥0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），单调减区间为（-

1

a

，+∞）．
（Ⅱ）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max，
由已知得g（x）_max=g（0）=1，
由（I）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意，
（或者举出反例：存在f（e³）=ae³+3＞1，故不符合题意．）
当a＜0时，f（x）在（0，-

1

a

）上单调递增，在（-

1

a

，+∞）上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-1-ln（-a），
∴1＞-1-ln（-a），解得a＜-

1

e2

．

点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．