Question

已知椭圆

x2

2b2

+

y2

b2

=1(b＞0)
（1）若圆(x-2)2+(y-1)2=

20

3

（2）与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；
（3）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为60°．求

|MF|

|NF|

的值．

Answer 1

分析：（1）由于AB为圆的直径，即A、B两点之间的距离为圆的半径，故可设直线方程代入椭圆方程．利用中点坐标及弦长公式可求椭圆的方程；
（2）由于L的倾斜角为60°，利用椭圆的第二定义，可建立方程，从而可求比值

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程为y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k
  代入

x2

2b2

+

y2

b2

=1(b＞0)得（1+2k²）x²+4（1-2k）•kx+2（1-2k）²-2b²=0
∵x₁+x₂=

4(1-2k)k

1+2k2

=4∴k=-1
∴x₁x₂=6-

2

3

b2∴(x1-x2)2=

40

3

∴b²=8∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1；
（2）设 MF=m，NF=n（不妨设m＜n）则由第二定义知

n

e

-

m

e

=

1

2

(m+n)
即

m

n

=

9+4 2

7

或

m

n

=

9-4 2

7

∴

|MF|

|NF|

=

9+4 2

7

或

|MF|

|NF|

=

9-4 2

7

．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，有较强的综合性．