题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，a=
5
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．
①若点M（-
7
3
，0），求证：
MA
•
MB
为定值；
②求三角形OAB面积的最大值（O为坐标原点）．
分析：（1）通过椭圆的离心率以及a，求出b，即可求解椭圆C的方程；
（2）①点M（-
7
3
，0），设出A、B两点坐标，将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得
MA
•
MB
为定值．
②利用弦长公式求出|y1-y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值．
解答：解：（1）因为已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，a=
5
．
所以c=ae=
30
3
，所以b=
(
5
)2-(
30
3
)2
=
5
3
，
所以椭圆方程为：
x2
5
+
3y2
5
=1．
（2）①设A（x1，y1）B（x2，y2）由将y=
1
m
（x+1），代入
x2
5
+
3y2
5
=1中，
得（1+
3
m2
）x2+
6
m2
x+
3
m2
-5=0，
△=
36
m4
-4（
3
m2
+1）（
3
m2
-5）=
48
m2
+20＞0，x1+x2=-
6
3+m2
，x1x2=
3-5m2
3+m2
，
所以
MA
•
MB
=（x1+
7
3
，y1）（x2+
7
3
，y2）=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+y1y2
=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+
1
m2
（x1+1）（x2+1）
=（1+
1
m2
）x1x2+（
7
3
+
1
m2
）（x1+x2）+
49
9
+
1
m2

=（1+
1
m2
）
3-5m2
3+m2
+（
7
3
+
1
m2
）（-
6
3+m2
）+
49
9
+
1
m2
=
4
9
；
②直线与x轴的交点为N，x-my+1=0，|y1-y2|=
1
|m|
|x1-x2|，
S△AOB=
1
2
|ON||y1-y2|=
1
2
×1×
1
|m|
•
(-
6
3+m2
)2-4×
3-5m2
3+m2
=
5m2+12
(3+m2)2
，
令12+5m2=t，则t≥12，m2=
t-12
5

∴S△AOB=
t
(3+
t-12
5
)2
=
25
t+
3
t
+6
，
∵t≥12，t+
3
t
+6是增函数，
∴当t=12时，S△AOB取得最大值，最大值为
10
9
．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及向量的数量积运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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