Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0)，α、β为方程f(x)=x的两根，且0＜α＜β＜，0＜x＜α，给出下列不等式，其中成立的是

①x＜f(x)  ②α＜f(x)  ③x＞f(x)  ④α＞f(x)

A.①④                        B.③④                        C.①②                         D.②④

Answer 1

解析：设F(x)=f(x)－x.由已知α、β是F(x)=0的两根，

∴F(x)=a(x－α)(x－β).

在x∈(0，α)时，f(x)－x=F(x)=a(x－α)(x－β).

∵a＞0，x－α＜0，x－β＜0，∴F(x)＞0.∴f(x)＞x.

又α－f(x)=α－［F(x)+x］=α－x－F(x)=α－x－a(x－α)(x－β)=(α－x)［1+a(α－β)］.

∵0＜x＜α＜β＜，∴aβ＜1.

∴1+a(x－β)=1+ax－aβ＞1－aβ＞0.

而α－x＞0，∴α－f(x)＞0.∴f(x)＜α.

答案：A