题目内容
如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若
，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若
，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，
又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD
（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=
．所以HA=HB=
．
因为∠APB=∠ADB=60° 所以PA=PB=
，HD=HC=1．可得PH=
．
等腰梯形ABCD的面积为S= ACxBD=2+
所以四棱锥的体积为V=
×（2+ 
）× 
=
．
又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD
（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=
．所以HA=HB= ．因为∠APB=∠ADB=60° 所以PA=PB=
，HD=HC=1．可得PH= ．等腰梯形ABCD的面积为S= ACxBD=2+
所以四棱锥的体积为V=
×（2+ ）× = ． 
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