Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点．
（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D-xyz，
依题意，得D（0，0，0），A（1，0，0），M（0，0，1），C（0，1，0），
B（1，1，0），．
∴，
∵，
所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为-
（Ⅱ）假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN．
∵=（0，1，1），设=?λ=（0，λ，λ），，
∴．
由ES⊥平面AMN，得，即，，
此时 经检验，当时，ES⊥平面AMN．
故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时．
分析：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标D-xyz，求出两条异面直线上的两个向量的坐标，求出这两个向量
所成的角的余弦值，再取绝对值，即得异面直线NE与AM所成角的余弦值．
（Ⅱ）假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN．设=?λ，则 ．
由ES⊥平面AMN，得，求得 ，．
点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，证明线面垂直的方法，求平面的法向量的坐标是解题的关键．