题目内容

函数 $数学公式$ 的定义域为 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设函数 $数学公式$ ．若对于任意x₁∈ $数学公式$ ，总存在x₂∈ $数学公式$ ，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

解：（1）求导函数， $\text{[math]}$ ，∵定义域为 $\text{[math]}$ ，∴f′（x）＞0
∴函数在定义域内为增函数，所以函数的值域为 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
（2）对函数g（x）求导，得 g′（x）=3（x²-a）
因此 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，g′（x）≤0，所以当 $\text{[math]}$ 时，g（x）为减函数，
从而当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$
即当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
任给x₁∈ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，存在x₂∈ $\text{[math]}$ 使得g（x₂）=f（x₁），
则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
分析：（1）先求导函数，根据函数的定义域，可知导数大于0，从而函数在定义域内为增函数，所以可求函数的值域；（2）对函数g（x）求导，得 g′（x）=3（x²-a），根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可知g′（x）≤0，所以当 $\text{[math]}$ 时，g（x）为减函数，从而可求函数g（x）的值域；任给x₁∈ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要使存在x₂∈ $\text{[math]}$ 使得g（x₂）=f（x₁），则函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，从而可得结论．
点评：本题以具体函数为载体，考查利用导数确定函数的单调性，考查函数的值域，同时考查存在性问题的求解，其中将函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，是解题的关键．