Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记集合A={x|(

1

2

)f(x)＜1}，B={x|log₄（x-a）＜1}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=0可得c=0；再根据 f（x+1）=f（x）+x+1，可得（2a-1）x+a+b-1=0，求得a、b的值，可得函数的解析式．
（2）解指数不等式求得A={x|x＜-1，或x＞0}，解对数不等式求得B={x|a＜x＜4+a}，再由A∩B=B，可得B⊆A，从而得到a+4≤-1，或 a≥0，由此求得a的范围．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=0可得c=0．
再根据 f（x+1）=f（x）+x+1，可得 a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1，
故有（2a-1）x+a+b-1=0，∴

2a-1=0 a+b-1=0

，解得

a= 1 2 b= 1 2

，
∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．
（2）集合A={x|(

1

2

)f(x)＜1}={x|f（x）＞0}={x|

1

2

x²+

1

2

x＞0}={x|x＜-1，或x＞0}，
B={x|log₄（x-a）＜1}={x|0＜x-a＜4}={x|a＜x＜4+a}，
若A∩B=B，则有B⊆A，∴a+4≤-1，或 a≥0，
解得 a≤-5，或a≥0，
故a的范围为（-∞，-5]∪[0，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，指数不等式的解法，两个集合间的包含关系，属于中档题．