Question

已知p：

6

x-3

≥1，q：x²-2ax+a²-1≤0，（其中a∈R，为常数）若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断

解答：解：∵p：

6

x-3

≥1
∴p为真，

6

x-3

≥1⇒

9-x

x-3

≥0，
∴可得x的取值范围：3＜x≤9，
记集合A=（3，9]
∵q：x²-2ax+a²-1≤0，（其中a∈R，为常数）
∴q为真，x²-2ax+a²-1≤0
∴可得x的取值范围：{x-（a-1）}•{x-（a+1）}≤0可得a-1≤x≤a+1
记集合B=[a-1，a+1]
∵￢p是￢q的充分而不必要条件，得B?A，
∴

a-1＞3 a+1≤9

∴实数a的取值范围：4＜a≤8

点评：判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系