Question

（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率点D（0，1）在且椭圆E上。

   （I）求椭圆E的方程；

   （II）设过点F₂且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G（t，0），求点G横坐标t的取值范围。

   （III）试用t表示的面积，并求面积的最大值。

Answer 1

解：（I）

椭圆E的方程为         …………4分

   （II）设直线AB的方程为，

代入，

整理得

直线AB过椭圆的右焦点F₂，

方程有两个不等实根。

记，AB中点，

则

  …………6分

垂直平分线NG的方程为

令y=0，得

    …………8分

的取值范围为            …………10分

   （III）

而

可得

所以

又|F₂G|=1-t，

所以

                     …………12分