Question

已知函数f(x)=,g(x)=x+a(a＞0).

(1)求a的值，使点M(f(x),g(x))到直线x+y-1=0的距离最短为2；

(2)若不等式||≤1在x∈［1,4］上恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

解：(1)由题意得,点M到直线x+y-1=0的距离d=,

    令t=,则t≥0,

d==≥.

∴当t==0时，d_min==.

    解得a=-1(舍)，a=3.

(2)由||≤1-1

≤≤1得0≤≤2,即≤2在x∈［1,4］上恒成立.

    也就是ax+a²≤在x∈［1,4］上恒成立.

    令t=,则t≥0，且x=t².

    依题意at²-2t+a²≤0，

    在t∈［1,2］上恒成立.

    设φ(t)=at²-2t+a²，则要使上述条件成立，只需

    解得0＜a≤2(-1),

    即满足题意的a的取值范围是0＜a≤2(-1).