题目内容
已知函数f(x)=log2
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（a）=4，求a的值；
（Ⅲ）判断并证明该函数的单调性．
| x-5 | x+5 |
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（a）=4，求a的值；
（Ⅲ）判断并证明该函数的单调性．
分析：（Ⅰ）对于函数f(x)=log2
，有
＞0，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，有f（a）=log2
=4，变形可得
=16，解可得答案；
（Ⅲ）首先分析函数的奇偶性，可得f（x）为奇函数，任取x1，x2∈（5，+∞），且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，用作差法证明可得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，结合函数的奇偶性可得f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的，综合可得答案．
| x-5 |
| x+5 |
| x-5 |
| x+5 |
（Ⅱ）根据题意，有f（a）=log2
| a-5 |
| a+5 |
| a-5 |
| a+5 |
（Ⅲ）首先分析函数的奇偶性，可得f（x）为奇函数，任取x1，x2∈（5，+∞），且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，用作差法证明可得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，结合函数的奇偶性可得f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的，综合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）对于函数f(x)=log2
，有
＞0，
解可得x＜-5或x＞5．
所以f（x）的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞）；
（Ⅱ）f（a）=log2
=4，
即
=16，
解可得，a=-
；
（Ⅲ）f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
证明：由（Ⅰ）可得，函数的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞），关于原点对称；
又有f(-x)=log2
=log2
=log2(
)-1=-log2
=-f(x)
则f（x）为奇函数，
任取x1，x2∈（5，+∞），且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，
f（x2）-f（x1）=log2
-log2
=log2（
÷
）=log2
；
∵△x=x2-x1＞0，∴x1x2-25+5△x＞x1x2-25-5△x
∴
＞1，
∴log2
＞0，
即f（x2）-f（x1）＞0
由此证得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，
又∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的．
∴f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
| x-5 |
| x+5 |
| x-5 |
| x+5 |
解可得x＜-5或x＞5．
所以f（x）的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞）；
（Ⅱ）f（a）=log2
| a-5 |
| a+5 |
即
| a-5 |
| a+5 |
解可得，a=-
| 17 |
| 3 |
（Ⅲ）f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
证明：由（Ⅰ）可得，函数的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞），关于原点对称；
又有f(-x)=log2
| -x-5 |
| -x+5 |
| x+5 |
| x-5 |
| x-5 |
| x+5 |
| x-5 |
| x+5 |
则f（x）为奇函数，
任取x1，x2∈（5，+∞），且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，
f（x2）-f（x1）=log2
| x2-5 |
| x2+5 |
| x1-5 |
| x1+5 |
| x2-5 |
| x2+5 |
| x1-5 |
| x1+5 |
| x1x2+5△x-25 |
| x1x2-5△x-25 |
∵△x=x2-x1＞0，∴x1x2-25+5△x＞x1x2-25-5△x
∴
| x1x2-25+5(x2-x1) |
| x1x2-25+5(x1-x2) |
∴log2
| x1x2-25+5(x2-x1) |
| x1x2-25+5(x1-x2) |
即f（x2）-f（x1）＞0
由此证得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，
又∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的．
∴f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
点评：本题考查综合考查函数的奇偶性与单调性，解（Ⅲ）时，由于所求函数的定义域不连续，要先分析证明一半定义域中的单调性，再利用函数的奇偶性的性质，分析剩余区间的单调性，进而综合考虑可得整体的单调性．
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