Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）
（1）若在f（x）的图象上横坐标为

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的点处存在垂直于y 轴的切线，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=-x³+ax²+1（a∈R），知f′（x）=-3x²+2ax，由在f（x）的图象上横坐标为

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的点处存在垂直于y 轴的切线，知f′(

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)=0，由此能求出a．
（2）由a=1，知要使函数函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点，等价于方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三个不同的实根．由此能够求出结果．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+1（a∈R），
∴f′（x）=-3x²+2ax，
∵在f（x）的图象上横坐标为

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的点处存在垂直于y 轴的切线，
∴f′(

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)=-3×（

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）²+2a×

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=0，
解得a=1．
（2）在（1）的条件下，a=1，
要使函数函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点，
等价于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三个不同的实根．
∵x=0=0是一个根，
∴应使方程x²-4x+1-m=0有两个非零的不等实根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，
解得m＞-3，m≠1，
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），使函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点．

点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查满足条件的实数的求法．综合性强，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．