Question

已知函数f(x)=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得f（x）=x-

9

x

，利用f′（x）＞0即可判断其单调性；
（Ⅱ）由于1＜a＜6，可将f（x）化为f（x）=

2a-(x+ 9 x )，1≤x≤a x- 9 x ，a＜x≤6

，分1＜a≤3与3＜a＜6讨论函数的单调性，从而求得函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

解答：解：（1）∵a=1，x∈∈[1，6]，
∴f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

，
∴f′（x）=1+

9

x2

＞0，
∴f（x）是增函数；
（2）因为1＜a＜6，所以f（x）=

2a-(x+ 9 x )，1≤x≤a x- 9 x ，a＜x≤6

，
①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，
所以当x=6时，f（x）取得最大值为

9

2

．
②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
而f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
当3＜a≤

21

4

 时，2a-6≤

9

2

，当x=6时，f（x）取得最大值为

9

2

．
当

21

4

≤a＜6时，2a-6＞

9

2

，当x=3时，f（x）取得最大值为2a-6．
综上得，M（a）=

9 2 ，1≤a≤ 21 4 2a-6， 21 4 ＜a≤6

．

点评：本题考查带绝对值的函数，考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数的最值的求法，突出分类讨论思想与化归思想的考查，属于难题．