Question

（2012•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互独立到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为

1

2

，

1

4

，1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为

1

4

，

1

3

，2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为

1

8

，

1

3

，两人租车时间均不会超过4小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．
（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；
（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元
两人都付0元的概率为P₁=

1

2

×

1

4

=

1

8

两人都付1元的概率为P₂=

1

4

×

1

3

=

1

12

两人都付3元的概率为P₃=

1

8

×

1

3

=

1

24

两人都付6元的概率为P₄=（1-

1

2

-

1

4

-

1

8

）×（1-

1

4

-

1

3

-

1

3

）=

1

8

×

1

12

=

1

96

则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P₁+P₂+P₃+P₄=

25

96

（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=

1

2

+

1

4

=

3

4

则P（X=0）=

C

0 4

×(

3

4

)0×(

1

4

)4=

1

256

，P（X=1）=

C

1 4

×(

3

4

)1×(

1

4

)3=

3

64

P（X=2）=

C

2 4

×(

3

4

)2×(

1

4

)2=

27

128

，P（X=3）=

C

3 4

×(

3

4

)3×(

1

4

)1=

27

64

P（X=4）=

C

4 4

×(

3

4

)4×(

1

4

)0=

81

256

∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	1 256	3 64	27 128	27 64	81 256

X的数学期望为E（X）=1×

3

64

+2×

27

128

+3×

27

64

+4×

81

256

=3

点评：本题主要考查了独立事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．