Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x＞0，有f′（x）＜0，f（-1）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集是（　　）

A．[-1，1]

B．（-∞，-1）∪（1，+∞）

C．（-1，0）∪（0，1）

D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：先根据奇函数求出f（1）的值，再化简不等式，转化为解

x＞0 f(x)＞0=f(1)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-1)

，然后根据函数的单调性解不等式即可．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=0，

f(x)-f(-x)

x

＞0，
∴f（1）=-f（-1），

2f(x)

x

＞0，
∴不等式

2f(x)

x

＞0的解集即为

x＞0 f(x)＞0=f(1)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-1)

，
∵对任意的x＞0，有f′（x）＜0，f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增，
∴

x＞0 f(x)＞0=f(1)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-1)

的解集为x∈（-1，0）∪（0，1），
∴不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集是x∈（-1，0）∪（0，1）．
故选C．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于中档题．