Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+φ） （0＜φ＜π，ω＞0）过点(

π

6

，

3

)，函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得ω，φ，从而可得f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x-

π

6

），可求得g（x）=

3

sin（2x-

π

6

），继而可求得其单调递减区间．

解答：解：（1）由题意得T=π，ω=2，…（1分）
f（x）=

3

sin（2x+φ），
代入点（

π

6

，

3

），得sin（

π

3

+φ）=1…（1分）
∵φ∈（0，π），
∴φ=

π

6

…（1分）
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

6

）…（1分）
（2）令g（x）=f（x-

π

6

））=

3

sin（2x-

π

6

），…（1分）
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

得：…（1分）
∴kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z），…（1分）
∴g（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．…（1分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．