Question

如图，在长方体ABCD=A₁B₁C₁D₁ 中，AA₁=AD=a，AB=2a，E为C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BEC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

分析：（1）根据长方体的几何特征可得DE⊥BC，由勾股定理可得DE⊥EC，进而由线面垂直的判定定理可得DE⊥平面BEC；
（2）由（1）中结构，可得DE为平面BEC上的高，根据AA₁=AD=a，AB=2a，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（1）∵BC⊥侧面CDD₁C₁，
DE?侧面CDD₁C₁，
∴DE⊥BC---（2分）
在△CDE中，CD=2a，CE=DE=

2

a，
则有CD²=CE²+DE²，
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC，----（4分）
又∵BC∩EC=C，BC，EC?平面BEC
∴DE⊥平面BEC．----（6分）
解：（2）BC⊥侧面CDD₁C₁，
CE?侧面CDD₁C₁，
∴CE⊥BC---（8分）
则S△_BCE=

1

2

•BC•CE=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2----（9分）
又∵DE⊥平面BEC
DE就是三棱锥E-BCD的高----（10分）
则三棱锥E-BCD的体积V=

1

3

•DE•S△_BCE=

1

3

•

2

a•

2

2

a2=

a3

3

---（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的相互转化是解答的关键．