Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；   
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数间的关系可将f（x）化简为：f（x）=sin（2x-

π

4

）即可求其最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1
=sin2x-（1+cos2x）+1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

）．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得：kπ-

π

8

≤x≤2kπ+

3π

8

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，2kπ+

3π

8

]（k∈Z）

点评：本题考查正弦函数的单调性，考查两角和与差的三角函数间的关系，考查倍角公式，属于中档题．