题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
底面，
为棱
上一点，
（1）当为棱中点时，求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）是否存在点，使二面角
的余弦值为
？若存在，求
的值.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，且
.
【解析】
（1）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面
的法向量
，再利用公式
求解；
（2）设
，分别求平面的法向量是和平面
的法向量
，利用公式
，求点
的位置.
由条件可知
三条线两两垂直，
如图，以
为原点，分别为
轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
,
设平面的法向量是
，
由
，得
，令
，则
，
，
,
,
直线
与平面所成角的正弦值是；
（2）设 ，，
设平面的法向量是 ，
由，得
，令 ，则
，
，
，平面的法向量
，
，解得：
即是
的中点，即.
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