Question

已知数列{an}满足an+1=

1+an

3-an

(n∈N*)，且a1=

1

3

.
（I）求证：数列{

1

an-1

}是等差数列，并求a_n；
（II）令bn=

2

(n+2)2an

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）对an+1=

1+an

3-an

两边同时减去1，整理得到an+1-1=

1+an

3-an

-1=

2an-2

3-an

，然后两边同时取倒数得到

1

an+1-1

=-

1

2

+

1

an-1

，即

1

an+1-1

-

1

an-1

=-

1

2

，进而可证数列{

1

an-1

}是等差数列，结合等差数列的定义可得到

1

an-1

=

1

1 3 -1

=-

3

2

，整理即可得到a_n的表达式．
（II）先根据（I）中的a_n的表达式表示出b_n，然后根据数列求和的裂项法求得答案．

解答：解：（I）∵an+1=

1+an

3-an

∴an+1-1=

1+an

3-an

-1=

2an-2

3-an

故

1

an+1-1

=

3-an

2an-2

=

1-an

2an-2

+

2

2an-2

=-

1

2

+

1

an-1

∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=-

1

2

∴数列{

1

an-1

}是公差为-

1

2

的等差数列
而a1=

1

3

，∴

1

an-1

=

1

1 3 -1

=-

3

2

∴

1

an-1

=-

3

2

-

1

2

(n-1)
=-

n+2

2

∴an-1=-

2

n+2

an=1-

2

n+2

=

n

n+2

（II）由（I）知an=

n

n+2

∴bn=

2

(n+2)2• n n+2

=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

故T_n=b₁+b₂++b_n=

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n

-

1

n+2

=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

点评：本题主要考查求数列的通项公式和前n项和的裂项法．考查对数列知识的综合运用．