Question

函数f（x）=-x²+bx+c（x∈R）满足f（x-1）=f（3-x），且方程f（x）=0的两个根x₁，x₂满足|x1-x2|=2

2

．
（1）求f（x）解析式；
（2）若a＞1，函数y=f（a^x）在x∈[-2，1]上的最小值为-7，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用函数的对称性和二次函数的性质，求得b的值，再利用一元二次方程韦达定理，列方程即可解得c的值；
（2）先由指数函数的性质求出a^x的取值范围，再利用二次函数的性质求函数的最小值，由已知列方程即可解得a的值

解答：解：（1）∵f（x-1）=f（3-x），∴函数f（x）=-x²+bx+c的对称轴为

(x-1)+(3-x)

2

=1
∴-

b

-2

=1，∴b=2
∵方程f（x）=0的两个根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-c
∴|x1-x2|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

4+4c

=2 

2

∴c=1
∴f（x）=-x²+2x+1
（2）∵x∈[-2，1]，∴a^x∈[

1

a2

，a]
又∵a＞1，则

1

a2

＜1且a＞1，
函数y=f（a^x）在x∈[-2，1]上的最小值为-7，
则有f（a）=-a²+2a+1=-7或f（

1

a2

）=-（

1

a2

）²+2（

1

a2

）+1=-7
解可得a=4或a=

1

2

，
又由a＞1，则a=4；
故a=4．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，抽象表达式的意义，一元二次方程韦达定理的应用，复合函数单调性的判断及其最值的求法