Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²-3x在x=1或3处取得极值，可得f'（1）=f'（3）=0，故可得到a、b的方程组，求解即可；

（2）曲线y=g（x）与x轴有两个交点，转化成g（x）=0有两个不同的实数解，然后利用导数研究函数的单调性和极值，然后依题意有g（x）_极大值=0或g（x）_极小值=0即可求出t的值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-3，
因为f（x）在x=1和x=3处取得极值，
所以x=1和x=3是f′（x）=0的两个根，…（2分）
∴

1+3=- 2b 3a 1×3=- 3 3a

即

a=- 1 3 b=2

，∴f(x)=-

1

3

x3+2x2-3x…（5分）
（Ⅱ）g′（x）=-x²+4x-3，令g′（x）=0，∴x=3或x=1．…（7分）
当x变化时，g′（x），g（x）变化情况如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）		极小值		极大值

由上表可知：g（x）_极大值=g（3）=t；g(x)极小值=g(1)=t-

4

3

 …（9分）
∵g(x)=-

1

3

x3+2x2-3x+t=-

1

3

x(x-3)2+t，∴由此可知x取足够大的正数时，有g（x）＜0；x取足够小的负数时，有g（x）＞0，…（10分）
因此，为使曲线y=g（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，
必有：g（x）_极大值=g（3）=t=0，或g(x)极小值=g(1)=t-

4

3

=0 ，∴t=0或t=

4

3

所以存在t且t=0，或t=

4

3

…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及图形交点问题，同时考查了转化的思想，属于中档题．