Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N^*都有

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

+…+

1

an+1-an

＜1．

Answer 1

分析：（1）分别将n=1，2，3代入S_n=2a_n-n中便可求出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃的值；
（2）先根据（1）中的答案猜想an的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时an的表达式满足猜想即可证明；
（3）根据（2）中求得的an的通项公式然后写出

1

an+1-an

的表达式即可证明对任意n∈N^*都有

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

+…+

1

an+1-an

＜1．

解答：解：（1）令n=1得，S₁=2a₁-1=a₁，故a₁=1；
令n=2得，S₂=2a₂-2=a₁+a₂=1+a₂，故a₂=3；
令n=3得，S₃=2a₃-3=a₁+a₂+a₃=1+3+a₃，故a₃=7；
（2）由（1）可以猜想a_n=2ⁿ-1，下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k时结论成立，即a_k=2^k-1，
从而由已知S_n=2a_n-n可得：S_k=2a_k-k=2（2^k-1）-k=2^k+1-k-2．
故S_k+1=2^k+2-k-3．
∴a_k+1=S_k+1-S_k=（2^k+2-k-3）-（2^k+1-k-2）=2^k+1-1．
即，当n=k+1时结论成立．
综合①②可知，猜想a_n=2ⁿ-1成立．即，数列{a_n}的通项为a_n=2ⁿ-1．
（3）∵a_n=2ⁿ-1，
∴a_n+1-a_n=（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ-1）=2ⁿ，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

++

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+

1

23

++

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
∴对任意n∈N^*都有

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

++

1

an+1-an

＜1．

点评：本题考查了数列的递推公式以及数列与不等式的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列、函数的综合掌握，解题时注意归纳法和转化思想的运用，属于中档题．