Question

已知函数f(x)=2sin(2x-

π

6

)，x∈R．
（1）写出函数f（x）的对称轴方程、对称轴中心的坐标及单调区间．
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）在函数f(x)=2sin(2x-

π

6

)，x∈R中，令 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得称轴方程；令 2x-

π

6

=kπ，可得对称轴中心的横坐标 x的值；由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范围即得增区间；令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范围即得减区间．
（2）由x的范围求得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，利用正弦函数的单调性求得最值．

解答：解：（1）在函数f(x)=2sin(2x-

π

6

)，x∈R中，令 2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得
x=

kπ

2

+

π

3

，故函数f（x）的对称轴方程为 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈z．
令 2x-

π

6

=kπ，k∈z，可得 x=

kπ

2

+

π

12

，故对称轴中心的坐标为（

kπ

2

+

π

12

，0），k∈z．
由  2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
故减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．
（2）由于 0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，故当 x=

π

2

时，函数f（x）的最大值为2，
故当 x=-

π

6

  时，函数f（x）的最小值为2×（-

1

2

）=-1．

点评：本题考查正弦函数的对称性、单调性、定义域和值域，掌握正弦函数的图象性质，是解题的关键．