Question

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=

3

．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求函数V（x）的解析式及最大值．

Answer 1

分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，线面垂直的性质即可证明BC⊥平面ACD，再利用平行四边形的性质BC∥ED，得到ED⊥平面ACD，从而可得平面ACD⊥平面ADE；
（2）利用三棱锥的体积计算公式即可得出表达式，再利用基本不等式的性质即可得出体积的最大值．

解答：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC．
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
（2）∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，BE=

3

．
在Rt△ABC中，∵AC=x，BC=

4-x2

（0＜x＜2）．
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

，
V(x)=VE-ABC=

1

3

S△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

（0＜x＜2）．
∵x2(4-x2)≤(

x2+4-x2

2

)2=4，当且仅当x²=4-x²，即x=

2

时，体积有最大值为

3

3

．

点评：熟练掌握直径所对的圆周角为直角的性质、线面、面面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．