题目内容

以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员进行射击训练的成绩（环数），射击次数为4次．
（I）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；
（II）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了3次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为ξ，求ξ的分布列及期望．
（注：方差 $数学公式$ ，其中 $数学公式$ 为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

解：（Ⅰ）由茎叶图知：
甲的射击成绩是：6，7，9，10；乙的射击成绩是：5，7，10，10．
甲、乙的平均成绩都是8环，
甲的方差 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（10-8）²]= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ +（10-8）²]= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴甲运动员的射击水平稳定．
（Ⅱ）从甲、乙两组成绩中各随机选取一个，要使甲的成绩大于乙的成绩，
当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率 $\text{[math]}$ ，
当乙选取7环时，甲只能从9环，10环中选取，此时的概率为 $\text{[math]}$ ，
所以，甲的成绩大于乙的成绩的概率为p= $\text{[math]}$ ，
由题设条件知，ξ～B（3， $\text{[math]}$ ），
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
p	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴Eξ=3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由茎叶图知：甲的射击成绩是6，7，9，10；乙的射击成绩是5，7，10，10．甲、乙的平均成绩都是8环，再分别求出甲、乙的方差，由此进行判断能得到结果．
（Ⅱ）从甲、乙两组成绩中各随机选取一个，要使甲的成绩大于乙的成绩，甲的成绩大于乙的成绩的概率为 $\text{[math]}$ ．由题设条件知，ξ～B（3， $\text{[math]}$ ），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望的应用，解题时要认真审题，要注意茎叶图、方差、概率等知识点的灵活运用．