Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=-n²+12n-32，前n项和为S_n，若n＞m，则S_n-S_m的最大值是（　　）

A．5

B．10

C．15

D．20

Answer 1

分析：数列{a_n}的通项公式a_n=-n²+12n-32=-（n-4）（n-8），当n＜4时，a_n＜0，当4＜n＜8时，a_n＞0．也就是说n＜4时，a_n＜0，Sn随着n增加而减小，
n=3或n=4时，Sn取最小值．当4＜n＜8时，Sn随着n增加而增加，故当n=7或n=8时，Sn取最大值．故S_n-S_m的最大值是S₈-S₄，运算求得结果．

解答：解：数列{a_n}的通项公式a_n=-n²+12n-32=-（n-4）（n-8），该二次函数开口向下，当n=4或n=8时，a_n=0，
当n＜4时，a_n＜0，当4＜n＜8时，a_n＞0．
也就是说n＜4时，a_n＜0，Sn随着n增加而减小，n=3或n=4时，Sn取最小值．
当4＜n＜8时，Sn随着n增加而增加，故当n=7或n=8时，Sn取最大值．
∴n＞m，Sn-Sm的最大值是Sn的最大值减去Sn的最小值．
故S_n-S_m的最大值是S₈-S₄=a₅+a₆+a₇+a₈=3+4+3+0=10，
故选B．

点评：本题主要考查数列的函数特性，二次函数的性质应用，属于中档题．