Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞0，且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）求出函数的定义域，然后直接由奇函数的定义得答案；
（2）由原函数求得ax=-

y+1

y-1

，由指数函数的值域得到关于y的分式不等式，求解不等式得原函数的值域．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞0，且a≠1）的定义域为R，
又f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1 ax -1

1 ax +1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f(x)，
∴f（x）是R上的奇函数；
（2）∵函数f（x）为R上的奇函数，
∴函数f（x）有反函数，
由f(x)=

ax-1

ax+1

，得：ax=-

y+1

y-1

，由a^x＞0，得
-

y+1

y-1

＞0，即（y+1）（y-1）＜0，
解得：-1＜y＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断方法，考查了函数值域的求法，训练了分式不等式的解法，是中档题．