Question

已知a是实数，函数f(x)=

x

(x-a)
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（i）写出g（a）的表达式；
（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2．

Answer 1

解；（Ⅰ）函数的定义域为[0，+∞），f′(x)=

x

+

x-a

2 x

=

3x-a

2 x

（x＞0）．
若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．
若a＞0，令f'（x）=0，得x=

a

3

，当0＜x＜

a

3

时，f'（x）＜0，
当x＞

a

3

时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间[0，

a

3

]，单调递增区间(

a

3

，+∞)．
（Ⅱ）（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．
若0＜a＜6，f（x）在[0，

a

3

]上单调递减，在(

a

3

，2]上单调递增，
所以g(a)=f(

a

3

)=-

2a

3

a 3

．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以g(a)=f(2)=

2

(2-a)．
综上所述，g(a)=

0              a≤0 - 2a 3 a 3     0＜a＜6 2 (2-a)   a≥6

改天
（ii）令-6≤g（a）≤-2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．
若a≥6，解得6≤a≤2+3

2

．故a的取值范围为3≤a≤2+3

2

．