Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，S_n=ta_n+1 （n∈N₊，t∈R）．
（1）求数列{S_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）通过已知条件，利用a_n+1=S_n+1-S_n，通过数列的定义证明数列{S_n}是等比数列，然后求出数列的通项公式．
（2）写出数列{na_n}的前n项和为T_n的表达式，通过错位相减法求出T_n与S_n的关系式，利用（1）的结果，求出T_n．

解答：解：（1）∵S_n=ta_n+1，∴当n=1时，S₁=ta₂=a₁=1，∴t≠0，
又a_n+1=S_n+1-S_n，∴S_n=t（S_n+1-S_n），
∴S_n+1=

t+1

t

Sn，
∴当t=-1时，S_n+1=0，n＞1，且S₁=a₁=1，
当t≠-1时，数列{S_n}是等比数列，S_n=(

t+1

t

)n+1，
综上S_n=

1                ，n=1 ( t+1 t )n+1   ，n≥2

．
（2）∵T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n   ①
∴T₁=1，n≥2时又由①可知a_n+1=

t+1

t

an，
a₂=

1

t

，∴

t+1

t

Tn=

t+1

t

a₁+2a₃+3a₄+…+na_n+1   ②
①-②得-

1

t

Tn=-

1

t

+2a₂+a₃+a₄+…+a_n-na_n+1 
=-

1

t

-a1+a2+（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-na_n+1 
=-1+S_n-n（S_n+1-S_n）
=-1+Sn-

n

t

Sn．
T_n=t-tS_n+nS_n=

1               n=1 t-(n-t)( t+1 t )n+1   n≥2

．

点评：本题考查数列递推式，等比关系的确定，数列的求和的方法，考查计算能力．