Question

已知函数f(x)=sinx•cosx-

3

cos2x+

3

2

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）写出f（x）的单调递减区间；
（3）求出当x∈(0，

π

2

)时，函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简得f（x）=sin(2x-

π

3

)，由三角函数的周期公式可得最小正周期T=π；
（2）由正弦函数的单调区间的公式，解关于x的不等式，解之即可得出f（x）的单调递减区间；
（3）根据x∈(0，

π

2

)得出2x-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)，结合正弦函数的图象与性质，即可算出函数f（x）的值域．

解答：（1）解：∵sin2x=2sinxcosx，cos²x=

1

2

（1+cos2x），
∴f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

(1+cos2x)+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）得f（x）=sin(2x-

π

3

)，
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的递减区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）；
（3）∵当x∈(0，

π

2

)时，2x-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)，
∴sin(2x-

π

3

)∈(-

3

2

，1]，即f（x）的值域为(-

3

2

，1]．

点评：本题已知三角函数表达式，求函数的周期、单调区间和指定区间上的值域．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质和函数值域的求法等知识，属于中档题．