Question

已知函数f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax在区间(

1

4

，+∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是

a＞-

1

8

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，根据函数f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax在区间(

1

4

，+∞)上存在单调递增区间，可得f′(

1

2

)＞0，列式即可求解a的取值范围．

解答：解：由f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，
所以f′（x）=-x²+x+2a，
其对称轴方程为x=

1

2

＞

1

4

，
因为函数f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax在区间(

1

4

，+∞)上存在单调递增区间，
所以f′(

1

2

)＞0，即-(

1

2

)2+

1

2

+2a＞0，解得a＞-

1

8

．
故答案为a＞-

1

8

．

点评：本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了“三个二次”的结合，解答的关键是由函数f（x）=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax在区间(

1

4

，+∞)上存在单调递增区间列出含有a的不等式，是基础题．