题目内容
已知偶函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（a，b∈R）的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式为
f（x）=-2x2+4
f（x）=-2x2+4
．分析：由f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2为偶函数可知函数的对称轴x=-
=0可求b，代入根据二次函数的性质可求a，即可
| 2a+ab |
| 2b |
解答：解：∵f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2为偶函数
∴对称轴x=-
=0
∴a（2+b）=0
∴a=0或b=-2
若a=0，f（x）=bx2的值域不是（-∞，4]，不符合题意
若b=-2，f（x）=-2x2+2a2≤2a2，此时值域为-∞，2a2]，
∴2a2=4，f（x）=-2x2+4
故答案为：f（x）=-2x2+4
∴对称轴x=-
| 2a+ab |
| 2b |
∴a（2+b）=0
∴a=0或b=-2
若a=0，f（x）=bx2的值域不是（-∞，4]，不符合题意
若b=-2，f（x）=-2x2+2a2≤2a2，此时值域为-∞，2a2]，
∴2a2=4，f（x）=-2x2+4
故答案为：f（x）=-2x2+4
点评：本题主要考查了二次函数的对称性质的应用及二次函数的值域的求解，属于基础试题
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