Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右准线l₁：x=2与x轴相交于点D，右焦点F到上顶点的距离为

2

，点C（m，0）在线段OF上．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

？若存在，求出l的斜率；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）

a2

c

=2⇒a2=2c．a=

2

，由此能求出椭圆的方程．
（2）由F（1，0），假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，再由韦达定理结合题设条件能够求出存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

，l的斜率k=±

2

2

．

解答：解：（1）

a2

c

=2⇒a2=2c．
∵a=

2

，
∴c=1，
∴b=1，
∴椭圆的方程

x2

2

+y2=1．
（2）由（1）知F（1，0），
假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
∴y1+y1=k(x1+x2-2)=

-2k

2k2+1

，

CA

+

CB

=(x1-

1

4

，y1 )+(x2-

1

4

，y2)=(

4k2

2k2+1

-

1

2

，

-2k

2k2+1

)，
∵(

CA

+

CB

)⊥

BA

，
而AB的方向向量为（1，k），
∴

4k2

2k2-1

-

1

2

+

-2k

2k2+1

×k=0，
∴(1-

1

2

) k2=

1

4

，
∴k2=

1

2

，k=±

2

2

．
故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

，l的斜率k=±

2

2

．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．