题目内容

已知定点A(0，a)(a＞0)，直线l1：y＝－a交y轴于点B，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C．

(Ⅰ)求动点C的轨迹E的方程；

(Ⅱ)设倾斜角为α的直线l2过点A，交轨迹E于两点P、Q，交直线l1于点R．

(1)若tanα＝1，且ΔPQB的面积为，求a的值；

(2)若α∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l1，垂足为D，由已知可得|CA|＝|CD|，

　　∴点C的轨迹是以A为焦点，l1为准线的抛物线，

　　∴轨迹E的方程为x2＝4ay　　(4分)

　　(Ⅱ)直线l2的方程为y＝kx＋a，与抛物线方程联立消去y得x2－4akx－4a2＝0．

　　记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　则x1＋x2＝4ak，x1x2a2＜0　　(6分)

　　(1)若tanα＝1，即k＝1，此时x1＋x2＝4a，x1x2＝－4a2．

　　∴SΔBPQ＝SΔABP＋SΔABQ＝a|x1|＋a|x2|＝a|x2－x1|

　　＝a＝a＝a＝4a2　　(8分)

　　∴4a2＝，注意到a＞0，∴a＝　　(9分)

　　(2)因为直线PA的斜率k≠0，易得点R的坐标为(，－a)　　(10分)

　　|PR|·|QR|＝·＝(x1＋，y1＋a)·(x2＋，y2＋a)

　　＝(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2a)(kx2＋2a)

　　＝(1＋k2)x1x2＋(＋2ak)(x1＋x2)＋＋4a2

　　＝－4a2(1＋k2)＋4ak(＋2ak)＋＋4a2＝4a2(k2＋)＋8a2≥8a2＋8a2＝16a2

　　又α∈[，]，∴k∈[，1]，

　　当且仅当k2＝，即k＝1时取到等号　　(12分)

　　从而|PR|·|QR|的最小值为16a2　　(14分)


练习册系列答案
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已知常数a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，经过原点O以c＋λi为方向向量的直线与经过定点A(0，a)，以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得||＋||为定值？若存在，求出E、F的坐标；请若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系XOY中，已知定点A(0，a)，B(0，－a)，M，N是x轴上两个不同的动点，且，直线AM与直线BN交于C点．

(1)求点C的轨迹方程；

(2)若存在过点(0，－1)且不与坐标轴垂直的直线l与点C的轨迹交于不同的两点E、F，且|AE|＝|AF|，求实数a的取值范围．

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