Question

已知常数a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，经过原点O以c＋λi为方向向量的直线与经过定点A(0，a)，以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得||＋||为定值？若存在，求出E、F的坐标；请若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵c＋λi＝(0，a)＋λ(1，0)＝(λ，a)， 　　i－2λc＝(1，0)－2λ(0，a)＝(1，－2λa)， 　　∴直线OP与AP的方程分别为 　　λy＝ax和y－a＝－2λax，式中a＞0，λ∈R． 　　消去实数λ，得点P(x，y)的坐标满足方程y(y－a)＝－2a2x2， 　　整理，得＝1，① 　　∵a＞0，所以得 　　(1)当a＝时，方程①是圆的方程，故不存在合乎题意的定点E和F． 　　(2)当0＜a＜时，方程①表示椭圆，故焦点E()和F()为合乎题意的两个定点． 　　(3)当a＞时，方程①也表示椭圆，故焦点E(0，)和F(0，)为合乎题意的两个定点．

提示：

利用消元法，从求P点的轨迹方程入手，进而讨论轨迹方程的性质，便可获得本题的答案．