Question

给定椭圆方程

x2

b2

+

y2

a2

=1 (a＞b＞0)，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．

Answer 1

分析：设所求双曲线的方程是

x2

α2

-

y2

β2

=-1，由题设知c²=α²+β²=a²-b²．由方程组

x2 b2 + y2 a2 =1 x2 α2 - y2 c2-α2 =-1

，解得交点的坐标满足x2=

b2α2

c2

，y2=a2(1-

α2

c2

)，即|x|=

bα

c

，|y|=α

1- α2 c2

．由此可推出相应的四边形顶点坐标．

解答：解：设所求双曲线的方程是

x2

α2

-

y2

β2

=-1
由题设知c²=α²+β²=a²-b²．
由方程组

x2 b2 + y2 a2 =1 x2 α2 - y2 c2-α2 =-1

解得交点的坐标满足x2=

b2α2

c2

，y2=a2(1-

α2

c2

)，即|x|=

bα

c

，|y|=α

1- α2 c2

．
由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S=4|xy|=4ab•

α

c

1- α2 c2

因为S与

α2

c2

(1-

α2

c2

)同时达到最大值，
所以当(

a

c

)2=

1

2

时达到最大值2ab
这时α2=

1

2

c2=

1

2

(a2-b2)，β2=

1

2

c2=

1

2

(a2-b2)，
因此，满足题设的双曲线方程是

x2

1 2 (a2-b2)

-

y2

1 2 (a2-b2)

=-1．
相应的四边形顶点坐标是(

2

2

b，

2

2

a)，(-

2

2

b，

2

2

a)，(-

2

2

b，-

2

2

a)，(

2

2

b，-

2

2

a)．

点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．