题目内容
在△ABC中，tanA，tanB，tanC成等差数列，且f（tanC）=cos2A，求f（x）的表达式．
分析：由于在△ABC中，所以A+B+C=π，又由于tanA，tanB，tanC成等差数列，所以2tanB=tanA+tanC，由此得到A与C的关系等式，再有f（tanC）=cos2A利用换元法即可求f（x）的表达式．
解答：解：∵在△ABC中，所以A+B+C=π，又由于tanA，tanB，tanC成等差数列，所以2tanB=tanA+tanC，
∴2tan[π-（A+C）]=tanA+tanC⇒
=tanA+tanC⇒tanAtanC=3⇒tanA=
①
有因为f（tanC）=cos2A?f（tanC）=
②，
把①代入②得：f（tanC）=
，令t=tanC，则f（t）=
，
所以f（x）的解析式为：f（x）=
．
∴2tan[π-（A+C）]=tanA+tanC⇒
| -2(tanA+tanC) |
| 1-tanAtanC |
| 3 |
| tanC |
有因为f（tanC）=cos2A?f（tanC）=
| 1-tan2A |
| 1+tan2A |
把①代入②得：f（tanC）=
| tan2C-9 |
| tan2C+9 |
| t2-9 |
| t2+9 |
所以f（x）的解析式为：f（x）=
| x2-9 |
| x2+9 |
点评：此题考查了三角形的内角和为π，两角和的正切展开式，万能公式，换元法求函数解析式．
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