Question

【题目】已知函数，在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)见解析

【解析】

（Ⅰ）根据导数几何意义列式可得方程组，解得的值；（Ⅱ）先化简不等式，再研究函数最小值，利用导数易得函数单调性，由单调性得最小值，解不等式得结果；（Ⅲ）先化简不等式，再研究函数最小值，利用导数易得函数单调性即得最小值，最后再利用导数证明.

（Ⅰ）解：函数的导数为，在点处的切线方程为，可得，

所以函数的切线方程为，即，

所以，解得.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，

因为，所以，即为

可令，

由，，可得，即有，在递增，

可得，所以，故的取值范围为；

（Ⅲ）解：对于在中的任意一个常数，

假设存在正数，使得：.

由成立，

从而存在正数，使得上式成立，只需上式的最小值小于即可.

令，

令，解得，令，解得，

则为函数的极小值，即为最小值点.

故的最小值为

，

再令

则在递增，可得，则.

故存在正数，使得.