Question

已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）如果函数y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象下方，求实数m的取值范围；
（3）如果m∈[-1，1]时，不等式f（x）＞mx+1恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，可求a，b，c进而可求函数f（x）
（2）由题意-x²+2x+1＜-x+m在x∈R上恒成立，即m＞-x²+3x+′1在R上恒成立．令g（x）=-x²+3x+1，则只有m＞g（x）_max即可
（3）由m∈[-1，1]时，不等式f（x）＞mx+1恒成立，可得mx+x²-2x＜0在m∈[-1，1]上恒成立，令g（m）=mx+（x²-2x），结合一次函数的性质可得

g(-1)=x2-3x＜0 g(1)=x2-x＜0

，从而可求x的范围

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），…..1 分
∵f（0）=1
∴c=1，…．（2分）
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，
∴a=-1，b=2，…．（2分）
故f（x）=-x²+2x+1…．（1分）
（2）由题意-x²+2x+1＜-x+m在x∈R上恒成立，即m＞-x²+3x+′1在R上恒成立．
令g（x）=-x²+3x+1易知g（x）_max=g（

3

2

）=

13

4

，所以m＞

13

4

．…（4分）
说明：此题若直接用△做同样得满分．
（3）因为m∈[-1，1]时，不等式f（x）＞mx+1恒成立，
即mx+x²-2x＜0在m∈[-1，1]上恒成立．
令g（m）=mx+（x²-2x），
则由

g(-1)=x2-3x＜0 g(1)=x2-x＜0

∴0＜x＜1…．（4分）

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的恒成立求解参数问题一般转化为求解函数的最值，及利用转化与化归思想把所求二次函数转化为关于m的一次函数进行求解