Question

已知函数f（x）=

sinx

3 cosx

-x（0＜x＜

π

2

）．
（1）求f（x）的导数f′（x）；
（2）求证：不等式sin³x＞x³cosx在（0，

π

2

]上恒成立；
（3）求g（x）=

1

sin2x

-

1

x2

（0＜x≤

π

2

）的最大值．

Answer 1

（1）根据求导的运算法则得出f′（x）=cos

2

3

x+

2

3

sin²xcos

4

3

x-1；

（2）由（1）知f′（x）=cos

2

3

x+

2

3

sin²xcos-

4

3

x-1，其中f（0）=0
令f′（x）=G（x），对G（x）求导数得G′（x）
G′（x）=

2

3

cos-

1

3

x（-sinx）+

1

3

[2sinxcosxcos-

4

3

x+sin²x（-

4

3

）cos

7

3

x（-sinx）]
=

4

9

sin³xcos

7

3

x＞0在x∈（0，

π

2

）上恒成立．
故G（x）即f（x）的导函数在（0，

π

2

）上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0
进而知f（x）在（0，

π

2

）上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，当x=

π

2

时，sin³x＞x³cosx显然成立．
于是有sin³x-x³cosx＞0在（0，

π

2

]上恒成立．

（3）∵由（2）可知sin³x-x³cosx＞0在（0，

π

2

]上恒成立．
则g′（x）=

2(sin3x-x3cosx)

x3sin3x

＞0在（0，

π

2

]上恒成立．即g（x）在（0，

π

2

]单增
于是g（x）≤g（

π

2

）=

4

π2

．故g（x）=

1

sin2x

-

1

x2

（0＜x≤

π

2

）的最大值为

4

π2

．