Question

某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增多4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.

(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)?

(2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种:

①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出;②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.

问哪一种方案较为合算?请说明理由.

Answer 1

解：(1)设盈利为y万元，该船捕捞n年开始盈利(n∈N),则n年所需费用之和为

12+(12+4)+(12+4×2)+…+［12+4(n-1)］=12n+4［1+2+…+(n-1)］=12n+2(n-1)n=2n²+10n.

∴y=50n-［(2n²+10n)+98］=-2n²+40n-98＞0.

∴n²-20n+49＜0.

∴10-＜n＜10+.

∴3≤n≤17.

∴n=3，即该船捕捞3年开始盈利.

(2)第①种方案年平均盈利=-(2n+)+40≤-2+40=12,

当且仅当2n=,即n=7时，年平均利润最大为12万元.

∴经过7年后平均利润最大，共盈利12×7+26=110(万元).

第②种方案年平均盈利y=-2n²+40n-98=-2(n²-20n+100)+102=-2(n-10)²+102,

当n=10时，盈利总额达到最大，为102万元，共盈利102+8=110(万元).

∴两种方案获利相等，但第②种方案所用时间长.

∴第①种方案较为合算.